简述
通过3b1b的视频来回顾一些微积分的一些基础知识和概念，同时通过博客来记录，让记忆深一点
微积分的名字
| 中文 | 英文 | 核心含义 |
|---|---|---|
| 微分 | Differential | 把变化拆成“极小部分” |
| 导数 | Derivative | “派生出来的量” |
| 积分 | Integral | 把零散部分“积成整体” |
一些结论
- 许多问题可以近似成大量很小的东西加起来，而这些问题都能转化成求某图像下的面积
- 导数测量的是变化率的最佳近似，微小变化量是它的本质
公式
1. 导数定义
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
2. 基本求导公式
\frac{d}{dx} c = 0
\frac{d}{dx} x = 1
\frac{d(x^n)}{dx} = n x^{n-1}
\frac{d}{dx} e^x = e^x
\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}
3. 导数运算规则
线性法则
\frac{d}{dx} (af(x) + bg(x)) = a f'(x) + b g'(x)
乘法法则
\frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
商法则
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
链式法则
\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
4. 定积分定义
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x
5. 不定积分
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C
6. 微积分基本定理
若
F'(x) = f(x)
则
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
一些名言
- 数学之道在于找出一个这样的特例，它包含普遍原则的全部萌芽。
- 数学法则只要与现实有关，都是不确定的；若是确定的，都与现实无关。
- 他曾没有足够的想象力来当数学家。不过他成了一名诗人，现在过得挺好。
- 运用链式法则就好比剥洋葱：你得一层一层地剥开它的心，要是它的个头太大，你还会鼻酸留泪